女子高生
ちょうど学校で積分をやってるんだけど、部分積分の公式を毎回忘れて、教科書見ながらじゃないと解けなくて困ってるんよ
ブログ編集者：ケンさん
部分積分の公式って一見すごく複雑だよね
ブログ編集者：ケンさん
でも、大丈夫！！一度この考え方を知ったら、部分積分の公式を忘れることなく使いこなせることができるよ
部分積分とは？どうやって使うの？
部分積分とは、高校で習う積分の公式の１つであり、次の通りです。
部分積分は積分する関数が種類の異なる関数の積の形になっているときに使います。
その種類の異なる2つの関数はそれぞれ積分担当と微分担当に分かれます。
覚えるときは、「そのまま→積分→微分→積分」の順番を覚えるのがおすすめです。
女子高生
積分担当、微分担当とかはどうやって決めるの？
ブログ編集者：ケンさん
微分すればより簡単な形（次数が低い、定数）になる方を微分担当にするよ。でも、これは例外もあるし、この判断力は実際の経験で身に着けていくものだよ
※例外として、logxが含まれるときは、logxが微分担当になる。
証明方法 部分積分の証明
女子高生
どうやって証明するの？
ブログ編集者：ケンさん
積の微分の公式を使って、証明していくよ
女子高生
なんか最初に紹介した部分積分の公式とちょっと違うことない？
ブログ編集者：ケンさん
一見すると、見た目は少し違うように見えるけど、書き方は違うだけで全く同じ部分積分の公式だよ。（証明で示した部分積分の公式の表記は学校の教科書の表記でよくみるやつ）
ブログ編集者：ケンさん
個人的には最初に紹介した部分積分の公式が一番わかりやすいと思うから、そっちをおすすめするよ！！
ブログ編集者：ケンさん
部分積分の例題に行く前にちょっと宣伝させて
部分積分の例題3問
女子高生
解説を見る前にみんなも解いてみてね
ブログ編集者：ケンさん
まずは、問題(1)の解説からしていくよ。
ブログ編集者：ケンさん
今回は（３ｘ＋１）が微分担当で、sinxが積分担当になるね
女子高生
そっか！もし、sinxが微分担当だとしても、（sinx→cosx→sinx→cosx）の同じことの繰り返しだけど、（３ｘ＋１）は微分すると、次数が下がって定数になるよね。
女子高生
そのとおり！微分するとより簡単な形になる方を微分担当にするというルールで判断するといいよ
ブログ編集者：ケンさん
2問目のlogxの積分は部分積分の典型例だね。この場合はlogx=logx・１とみて、logxが微分担当、１が積分担当になるよ
女子高生
これは知れないと解けないね。例外として、logxが含まれるときはlogxが微分担当になるんだよね。
ブログ編集者：ケンさん
(3)の問題でどっちが微分担当で、積分担当かわかるかな？
女子高生
ｘが微分担当で、ｅ^(ー２ｘ)が積分担当だよね。だって、ｘは微分したら、次数が下がって定数になるからね
ブログ編集者：ケンさん
やるじゃん！！
※ｘ^2は「ｘの2乗」を表す。
ブログ編集者：ケンさん
今日の記事の重要事項をまとめとくよ
ポイント
- 部分積分とは積分する関数が異なる種類の関数の積の形になっている
- 2つの異なる種類の関数は微分担当と積分担当に分かれる
- 微分すればより簡単な形（次数が低い、定数）になる方が微分担当になる
- logxは微分担当になる
